二项分布方差公式证明

公式: 一枚硬币扔一次有p的概率朝上, 扔n次, 朝上次数的方差为`n * p * (1-p)\\\'.

证明: 归纳法(增量证明)

设D(n)表示扔n次时的方差. E(n)表示扔n次时的期望. P(n, i)表示扔n次, 朝上i次的概率.

对于n=1的情况显然成立.

对于n>1的情况

$$D(i)=\sum_{i=0}^{n}P(n,i)*(i-E(n))^2$$

对于D(n+1)

$$D(i+1)=\sum_{i=0}^{n}P(n, i) * (p * (i + 1 - E(p) - p)^2 + (1-p) * (i - E(p) - p)^2)$$

再两式相减, 式子有点麻烦, 但是可以巧妙地拆开然后用平方差化简.

$$D(n+1) - D(n) = \sum_{i=0}^{n}P(n, i) * p * (1-p)$$

右边那坨是常数. 左边这坨和刚好为1.

于是

$$D(n+1) - D(n) = p * (1-p)$$

搞定.

数学考试遇到直接背公式就好. 可以记一个简单的结论是方差与n成正比. 不知道有没有奇怪的证明方法可以直接证这个来证上面那个公式.

思考了好久才思考出这种证法ovo.

mathJax还没搞定所以公式全是乱码qwq. 随便喂给一个TeX编译器应该都能看.

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