(madan打到一半不小心把浏览器关了)
(微分方程挺有意思的. 要是暑假有人找我出oi题我就出数学题吼吼吼)
题:
一维空间里有个质点.
速度为\(v\)的时候加速度为\(-k\sqrt{a^2-v^2}\) (即与速度方向相反).
求速度从\(v_1\)变成\(v_2\)的过程中的位移\(x_m\).
其中\(0\leq v_2 \leq v_1 < a\).
歪:
仔细看看这不就是简谐振动么? mdzz题.
算都不用算随便看看就出来了.
下面的东西不用看了.
解:
根据题意列个方程.
$$\frac{dv}{dt}=-k\sqrt{a^2-v^2}$$
整理.
$$\frac{dv}{\sqrt{a^2-v^2}} = -kdt$$
两边积分.
$$arcsin\frac{v}{a} = -kt + C_1$$
顺手整理.
$$v = -a*sin(kt-C_1)$$
$$t = \frac{C_1 - arcsin\frac{v}{a}}{k}$$
再对\(v\)积分求位移.
$$x=\int vdt = -\frac{a}{k} \int sin(kt-C_1)dkt$$
$$x=\frac{a}{k}cos(kt-C_1)=\frac{a}{k}cos(arcsin\frac{v}{a})$$
再定积分.
$$x_m = \int_{v_1}^{v_2}vdt$$
$$x_m = \frac{a}{k} [cos(arcsin\frac{v_2}{a})-cos(arcsin\frac{v_1}{a}) ] $$
顺手化简.
$$x_m = \frac{a}{k} ( \sqrt{1-(\frac{v_2}{a})^2} - \sqrt{1-(\frac{v_1}{a})^2}$$
$$x_m = \frac{\sqrt{a^2-v_2^2}-\sqrt{a^2-v_1^2}}{k}$$
全剧终.
不知道有没有算对也不知道有没有更简便的方法.