(madan打到一半不小心把浏览器关了)

(微分方程挺有意思的. 要是暑假有人找我出oi题我就出数学题吼吼吼)

题:

一维空间里有个质点.

速度为\(v\)的时候加速度为\(-k\sqrt{a^2-v^2}\) (即与速度方向相反).

求速度从\(v_1\)变成\(v_2\)的过程中的位移\(x_m\).

其中\(0\leq v_2 \leq v_1 < a\).

歪:

仔细看看这不就是简谐振动么? mdzz题.

算都不用算随便看看就出来了.

下面的东西不用看了.

解:

根据题意列个方程.

$$\frac{dv}{dt}=-k\sqrt{a^2-v^2}$$

整理.

$$\frac{dv}{\sqrt{a^2-v^2}} = -kdt$$

两边积分.

$$arcsin\frac{v}{a} = -kt + C_1$$

顺手整理.

$$v = -a*sin(kt-C_1)$$

$$t = \frac{C_1 - arcsin\frac{v}{a}}{k}$$

再对\(v\)积分求位移.

$$x=\int vdt = -\frac{a}{k} \int sin(kt-C_1)dkt$$

$$x=\frac{a}{k}cos(kt-C_1)=\frac{a}{k}cos(arcsin\frac{v}{a})$$

再定积分.

$$x_m = \int_{v_1}^{v_2}vdt$$

$$x_m = \frac{a}{k} [cos(arcsin\frac{v_2}{a})-cos(arcsin\frac{v_1}{a}) ] $$

顺手化简.

$$x_m = \frac{a}{k} ( \sqrt{1-(\frac{v_2}{a})^2} - \sqrt{1-(\frac{v_1}{a})^2}$$

$$x_m = \frac{\sqrt{a^2-v_2^2}-\sqrt{a^2-v_1^2}}{k}$$

全剧终.

不知道有没有算对也不知道有没有更简便的方法.